教师被开除公职的条件主要包括以下几个方面：

品德问题

品行不良、侮辱学生，影响恶劣的。例如，有的老师偶尔会辱骂学生，体罚学生，这样的行为一旦被发现核实，会被教育部门开除公职。

受剥夺政治权利或者故意犯罪受到有期徒刑以上刑事处罚的，不能取得教师资格；已经取得教师资格的，丧失教师资格。

教育教学责任

故意不完成教育教学任务给教育教学工作造成损失的。

在编教师如果严重侵害学生合法权益，体罚或者变相体罚学生造成人身伤害等严重后果的，也会被开除。

职业行为

在编教师如果公开发表违反宪法言论，损害党和国家声誉的，或者利用职务便利谋取不正当利益或者滥用职权、徇私舞弊，严重损害教育公平的，也会被开除。

与学生发生不正当性关系的。

其他违规行为

在编教师如果严重违背教师职业行为准则等师德规范情形的，也会被开除。

教师如果在外开设辅导班，不好好传授知识给学生，或者诱导学生报考校外辅导班，一旦被家长举报或教育局发现，也会被开除。

考核与资格

连续多年考核没通过的老师，没有上进心，学术能力得不到提升，教学水平令人堪忧，也可能被开除。

在规定时间内没有拿到教师资格证的。

综上所述，教师被开除公职的条件主要涉及品德、教育教学责任、职业行为以及其他违规行为。具体的处分措施包括警告、记过、降级、撤职和开除等，严重者还可能面临法律责任。