教师是否算作体制内人员，主要取决于他们是否拥有编制。有编制的教师是属于体制内的，而没有编制的教师则不属于体制内，他们的职业性质更像是“临时工”或合同工。

具体来说，有编制的教师是事业单位工作人员，他们享有国家提供的各项福利待遇，如医疗保险、养老保险、住房公积金等，并且工作相对稳定，有寒暑假等。这些教师通常是通过正式考试录用，并签订了长期合同。

然而，需要注意的是，目前教师并没有被纳入公务员编制，他们与公务员在编制性质、职责、招聘方式等方面存在一定区别。因此，虽然教师属于国家公职人员，但并不能直接等同于公务员。

总结来说， 有编制的教师算是体制内人员，而没有编制的教师则不算。对于公立学校的教师来说，他们通过正式招聘录用，具有事业编制，因此属于体制内人员。而私立学校的教师则不属于体制内。